원호 양단 하중작용시 등분포 하중 [uniform distributed load on arc]

원호 양단에 하중이 작용할 때 원호상에 작용하는 등분포 하중을 산정해 보겠습니다. 원의 일부인 원호 양단에 하중이 작용하는 예는 도르래(pulley), 쉬브(sheave)가 있습니다. 원호AOB는 반지름 R , 각 a , 양단에 T하중이 작용합니다. T는 원에 접하는 힘입니다. 그러면 원호상에는 원의 중심 O로 향하는 등분포 하중이 생기게 됩니다.

등분포 하중을 p라고 가정하고 값을 유도해 보겠습니다.

먼저 OA가 수평이 되도록 원호를 기울이겠습니다.

A점에 작용하는 힘은 원에 접하므로 OA가 수평이 되었으므로 연직하향으로 작용합니다.

수평성분의 힘으로 식을 세우면 됩니다.

B점에 작용하는 T의 수평성분은 A에서 B까지 원호를 따라 작용하는 등분포하중 p의 수평성분의 합과 같아야 합니다.

 

B점 수평성분 값

\[T\times cos(90- a) = T\times sin(a)\]

A에서 B까지 등분포 p의 수평성분 합은 적분으로 구합니다.

 x 각도 만큼 갔을 때 미소한 원호 ds에 작용하는 수평성분은 p x ds x cos(x) 입니다.

ds는 원호의 길이 이므로 ds = R dx 가 됩니다. 0 ~ a까지 적분하면 아래와 같습니다.

\[\int_{0}^{a}p\cdot ds\cdot cos(x) = \int_{0}^{a}p\cdot R\cdot dx\cdot cos(x) = \int_{0}^{a}p\cdot R\cdot cos(x)dx = p\cdot R\cdot sin(a)\]

두 식 모두 sin(a)가 있으므로 없어지게 됩니다.

\[p=\frac{T}{R}\]

원호상 등분포  p는 원호의 길이에 상관없이 반지름 R로 나누어 주면 나옵니다.